Зв’язок — крива, а не пряма? (нелінійна регресія, чотири фіксовані формули)

Коротко

Зв’язок — крива, а не пряма? Нелінійна регресія підганяє одну з чотирьох фіксованих формул: Міхаеліса-Ментен, експоненціальну, логістичну або степеневу. Ціль — число, яке передбачають із рівно одного числа. Формула має бути обґрунтована предметною галуззю.

Як це працює в Statable

«Новий аналіз», потім виберіть картку «Чи можна щось спрогнозувати?».
Виберіть стовпець цілі та рівно один стовпець предиктора з числами.
«Більше параметрів» → «Модель» → «Нелінійна регресія (фіксована формула)», потім виберіть формулу.
Результат показує параметри з інтервалами; R² немає.

Чотири формули

Міхаеліса-Ментен: y = a · x / (b + x). Крива зростає й наближається до верхньої межі a (насичення).
Експоненційна: y = a · exp(b · x). Зростання або спадання на той самий відсоток за крок.
Логістична: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). S-подібна крива з верхньою межею a і серединною точкою в c.
Степенева: y = a · x^b. Крива зростає або спадає зі степенем b.

Вільної формули немає. Формула є рішенням за змістом і не має вибиратися за тим, яка краще підходить.

Як виглядає таблиця

Один рядок на спостереження, стовпець залежної змінної з числами та рівно один стовпець предиктора з числами. Рядки з пропуском в одному з двох стовпців не враховуються; їх кількість показується в результаті. Залежно від формули обчислення потребує додатних значень для початкових значень: для Міхаеліса-Ментен і степеневої формули x і y понад 0, для експоненційної та логістичної y понад 0. Інакше Statable блокує обчислення й повідомляє, у скількох спостереженнях це не виконується.

Як читати результат

Для кожного параметра (a, b, а за логістичної формули ще й c) показуються оцінка b, SE, t, p і два 95% інтервали: інтервал Вальда (з t-розподілом і наведеними ступенями вільності df) та профільний інтервал. Якщо профільний інтервал обчислити не вдається, про це повідомляє одне речення, а інтервал Вальда залишається.
Модель: n, df, сума квадратів залишків (RSS), стандартне відхилення залишків σ і AIC.
Зображення показує точки та підігнану криву; таблиця показує підігнані значення та залишки.

Коли обчислення не вдається

Якщо обчислення не знаходить результату (немає збіжності), Statable показує не числа, а речення. Тоді формула, імовірно, не підходить до даних, або початкових значень недостатньо. Наприклад, підгонка прямої як кривої Міхаеліса-Ментен не вдається.

Пастка: чого числа не кажуть

R² не наводиться. У нелінійних моделях уявний R² не можна читати, як у лінійній регресії; тому Statable його не наводить.
Формула має бути обґрунтована за змістом. Те, що крива добре підходить, ще не доводить, що зв’язок має саме такий вигляд.
Обчислення знаходить локальний оптимум. З іншими початковими значеннями може вийти інший розв’язок.
Твердження для x поза межами даних не підкріплені: крива там може йти зовсім інакше.
p-значення та інтервали є наближеннями. Інтервал Вальда і профільний інтервал можуть значно відрізнятися. Залишки слід переглянути.
Якщо R повідомляє попередження під час обчислення, воно показується в результаті; числа тоді слід читати обережно.

Умови та обмеження

Спостереження незалежні одне від одного, а розкид навколо кривої приблизно однаковий. Перевірити це допомагає таблиця залишків.
Потрібно більше спостережень і більше різних значень x, ніж параметрів.

Подання результату

нелінійна регресія (Міхаеліса-Ментен), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Типові приклади

Як швидко відбувається реакція залежно від концентрації (Міхаеліса-Ментен)?
Як зростає запас із часом (експоненційно чи логістично)?

Для фахівців

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Початкові значення s автоматично беруться з лінійних допоміжних регресій. Профільний інтервал - це confint() для моделі nls. Перевірено на Puromycin (Міхаеліса-Ментен), ChickWeight (експоненційна), DNase (логістична) і cars (степенева) незалежними обчисленнями: параметри, стандартні похибки та сума квадратів залишків збігаються.