Is het verband een kromme in plaats van een rechte? (niet-lineaire regressie, vier vaste formules)

Kort

Is het verband een kromme in plaats van een rechte? De niet-lineaire regressie past een van vier vaste formules aan: Michaelis-Menten, exponentieel, logistisch of macht. Het doel is een getal, voorspeld uit precies één getal. De formule moet inhoudelijk onderbouwd zijn.

Zo werkt het in Statable

1. “Nieuwe analyse”, kies dan de kaart “Kan iets worden voorspeld?”.
2. Kies de doelkolom en precies één voorspellerkolom met getallen.
3. “Meer opties” → “Model” → “Niet-lineaire regressie (vaste formule)”, kies dan de formule.
4. Het resultaat toont de parameters met intervallen; een R² is er niet.

De vier formules

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). De kromme stijgt en nadert een bovengrens a (verzadiging).
• Exponentieel: y = a · exp(b · x). Groei of daling met hetzelfde percentage per stap.
• Logistisch: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Een S-vormige kromme met bovengrens a en middelpunt bij c.
• Macht: y = a · x^b. De kromme stijgt of daalt met de macht b.

Er is geen vrije formule. De formule is een inhoudelijke beslissing en moet niet worden gekozen op basis van welke het best past.

Zo ziet de tabel eruit

Eén rij per geval, een doelkolom met getallen en precies één voorspellerkolom met getallen. Rijen met een gat in een van beide kolommen worden weggelaten; het aantal wordt in het resultaat getoond. Afhankelijk van de formule heeft de berekening positieve waarden nodig voor de beginwaarden: bij Michaelis-Menten en macht x en y boven 0, bij exponentieel en logistisch y boven 0. Anders blokkeert Statable de berekening en zegt het bij hoeveel gevallen dat niet opgaat.

Het resultaat lezen

• Voor elke parameter (a, b, bij de logistische formule ook c) worden de schatting b, SE, t, p en twee 95%-intervallen getoond: het Wald-interval (met de t-verdeling en de vermelde vrijheidsgraden df) en het profielinterval. Kan het profielinterval niet worden berekend, dan zegt een zin dat en blijft het Wald-interval over.
• Het model: n, df, de kwadratensom van de residuen (RSS), de standaarddeviatie van de residuen σ en AIC.
• De afbeelding toont de punten en de gefitte kromme; een tabel toont de gefitte waarden en de residuen.

Wanneer de berekening mislukt

Als de berekening geen resultaat vindt (geen convergentie), toont Statable geen getallen maar een zin. Dan past de formule waarschijnlijk niet bij de gegevens, of de beginwaarden zijn niet genoeg. Een rechte lijn als Michaelis-Menten-kromme aanpassen mislukt bijvoorbeeld.

Valkuil: wat de getallen niet zeggen

• Er is geen R². Bij niet-lineaire modellen is de schijnbare R² niet te lezen zoals bij lineaire regressie; daarom geeft Statable er geen.
• De formule moet inhoudelijk worden onderbouwd. Dat een kromme goed past, bewijst nog niet dat het verband zo loopt.
• De berekening vindt een lokaal optimum. Met andere beginwaarden kan een andere oplossing ontstaan.
• Uitspraken voor x buiten het bereik van de gegevens worden niet gedekt: de kromme kan daar heel anders lopen.
• De p-waarden en intervallen zijn benaderingen. Het Wald-interval en het profielinterval kunnen aanzienlijk verschillen. De residuen moeten worden bekeken.
• Als R tijdens de berekening een waarschuwing meldt, wordt die in het resultaat getoond; de getallen moeten dan voorzichtig worden gelezen.

Voorwaarden en grenzen

• De gevallen zijn onafhankelijk van elkaar en de spreiding rond de kromme is ongeveer gelijk. De tabel met residuen helpt bij het controleren.
• Er zijn meer gevallen en meer verschillende x-waarden nodig dan parameters.

Het resultaat rapporteren

niet-lineaire regressie (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Typische voorbeelden

• Hoe snel verloopt een reactie afhankelijk van de concentratie (Michaelis-Menten)?
• Hoe groeit een voorraad in de loop van de tijd (exponentieel of logistisch)?

Voor specialisten

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). De beginwaarden s komen automatisch uit lineaire hulpregressies. Het profielinterval is confint() op het nls-model. Gecontroleerd op Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponentieel), DNase (logistisch) en cars (macht) met onafhankelijke berekeningen: parameters, standaardfouten en kwadratensom van de residuen komen overeen.