Czy zależność jest krzywą, a nie prostą? (regresja nieliniowa, cztery stałe wzory)

W skrócie

Czy zależność jest krzywą, a nie prostą? Regresja nieliniowa dopasowuje jeden z czterech stałych wzorów: Michaelisa-Menten, wykładniczy, logistyczny lub potęgowy. Celem jest liczba, przewidywana z dokładnie jednej liczby. Wzór musi być uzasadniony merytorycznie.

Jak to działa w Statable

„Nowa analiza”, potem wybierz kartę „Czy można coś przewidzieć?”.
Wybierz kolumnę celu i dokładnie jedną kolumnę predyktora z liczbami.
„Więcej opcji” → „Model” → „Regresja nieliniowa (stały wzór)”, potem wybierz wzór.
Wynik pokazuje parametry z przedziałami; R² nie ma.

Cztery wzory

Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Krzywa rośnie i zbliża się do górnej granicy a (nasycenie).
Wykładniczy: y = a · exp(b · x). Wzrost lub spadek o ten sam procent w każdym kroku.
Logistyczny: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Krzywa w kształcie litery S z górną granicą a i punktem środkowym w c.
Potęgowy: y = a · x^b. Krzywa rośnie lub maleje z potęgą b.

Nie ma wzoru dowolnego. Wzór jest decyzją merytoryczną i nie powinien być wybierany według tego, który najlepiej pasuje.

Jak wygląda tabela

Jeden wiersz na przypadek, kolumna zmiennej zależnej z liczbami i dokładnie jedna kolumna predyktora z liczbami. Wiersze z luką w jednej z tych dwóch kolumn są pomijane; liczba jest pokazana w wyniku. Zależnie od wzoru obliczenie potrzebuje wartości dodatnich dla wartości początkowych: dla Michaelis-Menten i wzoru potęgowego x i y większe od 0, dla wykładniczego i logistycznego y większe od 0. W przeciwnym razie Statable blokuje obliczenie i podaje, w ilu przypadkach to nie zachodzi.

Odczytywanie wyniku

Dla każdego parametru (a, b, przy wzorze logistycznym także c) pokazane są oszacowanie b, SE, t, p i dwa przedziały 95%: przedział Walda (z rozkładem t i podanymi stopniami swobody df) oraz przedział profilowy. Jeśli przedziału profilowego nie można obliczyć, mówi o tym jedno zdanie, a przedział Walda pozostaje.
Model: n, df, suma kwadratów reszt (RSS), odchylenie standardowe reszt σ i AIC.
Obraz pokazuje punkty i dopasowaną krzywą; tabela pokazuje wartości dopasowane i reszty.

Gdy obliczenie się nie powiedzie

Jeśli obliczenie nie znajdzie wyniku (brak zbieżności), Statable nie pokazuje liczb, lecz jedno zdanie. Wtedy wzór prawdopodobnie nie pasuje do danych albo wartości początkowe nie wystarczają. Na przykład dopasowanie prostej jako krzywej Michaelis-Menten się nie udaje.

Pułapka: czego liczby nie mówią

Nie podaje się R². W modelach nieliniowych pozorne R² nie daje się odczytywać tak jak w regresji liniowej; dlatego Statable go nie podaje.
Wzór musi być uzasadniony merytorycznie. To, że krzywa dobrze pasuje, jeszcze nie dowodzi, że związek tak przebiega.
Obliczenie znajduje optimum lokalne. Przy innych wartościach początkowych może wyjść inne rozwiązanie.
Stwierdzenia dla x poza zakresem danych nie mają pokrycia: krzywa może tam przebiegać zupełnie inaczej.
Wartości p i przedziały są przybliżeniami. Przedział Walda i przedział profilowy mogą się znacznie różnić. Należy obejrzeć reszty.
Jeśli R zgłosi ostrzeżenie podczas obliczeń, jest ono pokazane w wyniku; liczby należy wtedy odczytywać ostrożnie.

Założenia i ograniczenia

Przypadki są od siebie niezależne, a rozproszenie wokół krzywej jest mniej więcej równe. Tabela reszt pomaga to sprawdzić.
Potrzeba więcej przypadków i więcej różnych wartości x niż parametrów.

Raportowanie wyniku

regresja nieliniowa (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Typowe przykłady

Jak szybko przebiega reakcja w zależności od stężenia (Michaelis-Menten)?
Jak rośnie zasób w czasie (wykładniczo lub logistycznie)?

Dla specjalistów

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Wartości początkowe s pochodzą automatycznie z liniowych regresji pomocniczych. Przedział profilowy to confint() dla modelu nls. Sprawdzono na Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (wykładniczy), DNase (logistyczny) i cars (potęgowy) na podstawie niezależnych obliczeń: parametry, błędy standardowe i suma kwadratów reszt są zgodne.