Τακτική παλινδρόμηση (πρόβλεψη διατεταγμένων επιπέδων)

Εν συντομία

Μια διατεταγμένη στήλη (για παράδειγμα η ικανοποίηση από «χαμηλή» μέσω «μεσαίας» σε «υψηλή») προβλέπεται από μία ή περισσότερες άλλες στήλες. Η τακτική παλινδρόμηση χρησιμοποιεί τη σειρά των επιπέδων χωρίς να προϋποθέτει ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Το Statable την υπολογίζει με το R. Επιλέγεται στις «Περισσότερες επιλογές» → «Μοντέλο» στην ερώτηση «Μπορεί να προβλεφθεί κάτι;»· για διατεταγμένο στόχο με 3 έως 10 επίπεδα, το Statable την προτείνει.

Σε τι χρησιμεύει

Οι κλίμακες Likert και οι βαθμοί είναι διατεταγμένοι· η τακτική παλινδρόμηση δεν προϋποθέτει ίσες αποστάσεις μεταξύ των επιπέδων (η γραμμική το κάνει). Ρωτά: κατά ποιον παράγοντα αυξάνονται οι σχετικές πιθανότητες (odds) ενός ανώτερου και όχι ίσου ή κατώτερου επιπέδου όταν μια προβλεπτική μεταβλητή αυξάνεται κατά ένα;

Προϋποθέσεις

• Στήλη-στόχος: διατεταγμένα επίπεδα (επίπεδο «τακτική» ή ετικέτες τιμών). Το Statable προτείνει τακτική παλινδρόμηση για 3 έως 10 επίπεδα· περισσότερα επίπεδα είναι δυνατά έως 12, με μια σημείωση ότι η γραμμική παλινδρόμηση είναι τότε συχνά καταλληλότερη. Η σειρά προέρχεται από τα δεδομένα (οι αριθμοί σύμφωνα με τον κωδικό τους) και δεν είναι ποτέ αλφαβητική· το Statable υπολογίζει κείμενο μόνο αν η σειρά έχει οριστεί στην «Περιγραφή στηλών». Τα επίπεδα χωρίς περιπτώσεις παραλείπονται.
• Στήλες προβλεπτικών μεταβλητών: αριθμοί ή στήλες ομάδων. Για τις στήλες ομάδων η ομάδα αναφοράς είναι το πρώτο επίπεδο (όπως στο R και στη λογιστική παλινδρόμηση)· το SPSS παίρνει το τελευταίο, και τα OR είναι τότε αντίστροφα μεταξύ τους.
• Προϋπόθεση παράλληλων γραμμών: κάθε προβλεπτική μεταβλητή δρα εξίσου σε όλα τα κατώφλια μεταξύ των επιπέδων. Το Statable την ελέγχει με τον έλεγχο Brant, συνολικά και ανά προβλεπτική μεταβλητή.
• Τουλάχιστον 5 περιπτώσεις ανά επίπεδο, διαφορετικά εμφανίζεται μια σημείωση («αβέβαιη εκτίμηση»).

Ανάγνωση του αποτελέσματος

• Odds ratio (OR) ανά προβλεπτική μεταβλητή με διάστημα εμπιστοσύνης 95% και p: ο παράγοντας κατά τον οποίο αυξάνονται οι σχετικές πιθανότητες (odds) ενός ανώτερου επιπέδου, ο ίδιος σε κάθε κατώφλι. B > 0 (OR > 1) σημαίνει: υψηλότερες τιμές της προβλεπτικής μεταβλητής συνδέονται με υψηλότερα επίπεδα. Για στήλες ομάδων είναι η σύγκριση με την πρώτη ομάδα· αν η στήλη συμβάλλει συνολικά, το δείχνει ο έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας. Το 1 μέσα στο διάστημα σημαίνει: δεν έχει αποδειχθεί σχέση.
• Τα κατώφλια βρίσκονται σε δικό τους πίνακα. Ανήκουν στην εξίσωση του μοντέλου και δεν ερμηνεύονται.
• Έλεγχος μοντέλου (έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας έναντι μοντέλου χωρίς προβλεπτικές μεταβλητές) και R² του Nagelkerke. Αυτό το R² είναι ψευδο-R² και όχι ποσοστό που εξηγείται όπως στη γραμμική παλινδρόμηση.
• Έλεγχος Brant: ένα στατιστικά σημαντικό αποτέλεσμα μπαίνει πρώτο στην πρόταση: το αποτέλεσμα δεν είναι τότε το ίδιο σε όλα τα επίπεδα, και ένα μόνο OR το συνοψίζει μόνο χονδρικά. Το Statable προτείνει τότε την πολυωνυμική παλινδρόμηση (χωρίς σειρά). Αν ο έλεγχος δεν μπορεί να υπολογιστεί με τα δεδομένα (για παράδειγμα ένα κενό κελί), το Statable το λέει χωρίς να σταματήσει. Με μεγάλα δείγματα κάθε έλεγχος αντιδρά σε μικρές αποκλίσεις.

Παράδειγμα (Venables και Ripley 2002, δεδομένα MASS::housing, 1681 ενοικιαστές): ικανοποίηση (χαμηλή, μεσαία, υψηλή) ανάλογα με την αντιληπτή επιρροή στη διαχείριση, τον τύπο κτιρίου και την επαφή με άλλους. Για υψηλή σε σύγκριση με χαμηλή επιρροή, οι σχετικές πιθανότητες (odds) για ανώτερο επίπεδο ικανοποίησης είναι υψηλότερες κατά παράγοντα 3,63 (OR = 3,63, 95% CI [2,83; 4,66], p < ,001). Το μοντέλο ταιριάζει καλύτερα από ένα μοντέλο χωρίς προβλεπτικές μεταβλητές, και η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική (χ²(6) = 169,73, p < ,001, R² του Nagelkerke = ,11)· ο έλεγχος Brant δεν συνηγορεί κατά των παράλληλων γραμμών (χ²(6) = 8,53, p = ,201).

Αναφορά του αποτελέσματος

χ²(6) = 169,73, p < ,001, R² του Nagelkerke = ,11· Infl (High): OR = 3,63, 95% CI [2,83; 4,66], p < ,001· Brant χ²(6) = 8,53, p = ,201

Στο κείμενο ονομάστε τη σειρά των επιπέδων και αναφέρετε την προϋπόθεση παράλληλων γραμμών. Μη διατυπώνετε αιτιακά.

Περιορισμοί

• Πρόσημο: όπως το R (MASS::polr) και το SPSS PLUM, το Statable γράφει logit P(Y ≤ j) = θⱼ − βx και το B > 0 σημαίνει υψηλότερα επίπεδα. Το Stata (ologit) και το SAS χωρίς «descending» αντιστρέφουν τα πρόσημα.
• Αντί για τον έλεγχο Brant, το SPSS δίνει έναν έλεγχο λόγου πιθανοφάνειας («test of parallel lines»)· οι αριθμοί διαφέρουν.
• Αν μια προβλεπτική μεταβλητή διαχωρίζει πλήρως τα επίπεδα, η εκτίμηση αποτυγχάνει ή δεν είναι αξιόπιστη· το Statable το αναφέρει.
• Δύο επίπεδα είναι η περίπτωση της λογιστικής παλινδρόμησης· το Statable την υπολογίζει πάντως εκεί όταν ο στόχος έχει ακριβώς δύο τιμές.

Πηγή

McCullagh, P. (1980). Regression models for ordinal data. Journal of the Royal Statistical Society B, 42, 109-142. Brant, R. (1990). Assessing proportionality in the proportional odds model for ordinal logistic regression. Biometrics, 46, 1171-1178. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2η έκδ.), κεφ. 3. Wiley. Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (4η έκδ.), ενότ. 7.3. Springer.