Quantilregression (Median und andere Quantile)

Kurz

Die Quantilregression sagt nicht den Mittelwert voraus, sondern den Median oder ein anderes Quantil einer Zahl (zum Beispiel das untere und das obere Einkommensviertel in Abhängigkeit von der Bildung). Gewählt wird sie unter „Weitere Wege“ → „Modell“ in der Frage „Lässt sich etwas vorhersagen?“; sie gilt für alle Fächer und für ein Ziel mit Zahlen.

Wofür

Sie zeigt, ob sich der Zusammenhang am oberen und unteren Rand der Verteilung anders verhält als in der Mitte. Sie ist robust gegen Ausreißer im Ziel und gegen schiefe Verteilungen und nimmt keine gleiche Streuung an. Ausreißer in den Vorhersagegrößen schützt sie nicht.

Voraussetzungen

• Ziel: eine Zahl mit mehr als zwei Werten; mindestens eine Vorhersagegröße; mindestens 20 Fälle und fünf je Koeffizient. Bei weniger als 50 Fällen sind die Intervalle unsicher.
• Je näher τ an 0 oder 1 liegt, desto weniger Fälle bestimmen die Gerade. Liegen am Rand weniger Fälle, als die Gerade Koeffizienten hat, ist τ gesperrt.
• Hat das Ziel nur wenige verschiedene Werte (eine Skala mit wenigen Stufen), fallen viele Quantile zusammen; Statable weist darauf hin.
• Mit einem Fallgewicht rechnet die Quantilregression nicht: die Intervalle wären falsch.

Ergebnis lesen

• b je τ: die Veränderung des bedingten Quantils je Einheit der Vorhersagegröße. „Bedingt“ heißt: für Personen mit demselben Wert der Vorhersagegröße; eine Person steht nicht „im 75. Perzentil“, sondern die 75-%-Grenze gehört zu allen Personen mit diesem Wert.
• Intervalle: bis 1000 Fälle der Fall-Bootstrap (2000 Ziehungen, fester Startwert, Perzentil-Intervall, 95 %), darüber die nid-Näherung. Der Bootstrap gibt kein p; das Intervall zeigt, ob die Null darin liegt. Auf Wunsch die Rang-Umkehr (asymmetrisch, ohne Standardfehler).
• Andere Programme zeigen oft ein 90-%-Intervall mit gleicher Streuung (Voreinstellung von summary.rq in R). Statable setzt 95 % und ungleiche Streuung ausdrücklich.
• Die Schätzwerte sind dieselben wie in SPSS und R (quantreg). Standardfehler und Intervalle können von SPSS abweichen: SPSS schätzt sie über die Dichte (IID oder NID), Statable über Bootstrap, nid-Näherung oder Rang-Umkehr.
• Zum Vergleich steht die gewöhnliche Regression (Mittelwert) darunter. Die Quantilregression hat kein R²; das R² der gewöhnlichen Regression gehört nur zu ihr.
• Kreuzen sich die Geraden verschiedener Quantile, steht ein Satz: Das ist unmöglich und zeigt, dass die Schätzung dort unsicher ist (meist am Rand der Daten). Statable sortiert nichts still um.
• Bei geradem n ist der Median der Regression nicht immer eindeutig; R nennt dann eine Ecke der Lösung. Statable sagt das in einem Satz.

Überlappen die Intervalle verschiedener τ, belegt das keinen Unterschied der Steigungen und widerlegt ihn nicht. Ein Test auf gleiche Steigungen ist dieser Vergleich nicht.

Beispiel (Engel-Daten, Koenker und Bassett 1982, 235 Haushalte): Nahrungsausgaben aus dem Einkommen. Beim Median steigen die Ausgaben um 0,56 je Einheit Einkommen, beim unteren Zwanzigstel um 0,34 und beim oberen um 0,71.

Ergebnis berichten

Quantilregression (Median), n = 235; 95-%-Bootstrap-Intervall: Einkommen: b = 0,56 [0,47; 0,61]

Im Text das Quantil, die Art des Intervalls und die Fallzahl nennen. Nicht kausal formulieren.