Taille d’échantillon : bloc de prédicteurs, corrélation partielle, plusieurs facteurs, covariable, mesures répétées

En bref

Outre les cas simples, la page « Planifier une étude » en calcule quatre autres : l’augmentation du R² due à un bloc de prédicteurs et la corrélation partielle (toutes deux sous « Prédire quelque chose » à « Que faut-il tester ? »), ainsi que la carte « Groupes avec plusieurs facteurs ou mesures répétées » (deux ou trois facteurs, covariable, contraste planifié, mesures répétées). Les calculs sont ceux de G*Power ; les exemples publiés dans le manuel de G*Power (1er juin 2023) et par Faul et collègues (2007, 2009) sont reproduits jusqu’au dernier chiffre publié.

Augmentation du R² (un bloc de prédicteurs)

• La question est : combien de personnes faut-il pour que le test F détecte qu’un bloc de q prédicteurs explique de la variance supplémentaire quand les autres sont déjà dans le modèle ? Ce qui compte, c’est f² = (R² avec − R² sans) / (1 − R² avec). Exemple tiré du manuel : f² = ,0714 (R² de ,25 à ,30), 4 prédicteurs sur 9, α = ,01, puissance ,80 donne N = 242.
• Piège 1 : les repères de Cohen ,02 / ,15 / ,35 valent pour f², non pour l’augmentation du R². Une augmentation de ,10 pour R² = ,25 donne un f² d’environ ,15.
• Piège 2 : « Tous les prédicteurs du modèle » désigne ceux du modèle complet, y compris ceux qui y figurent déjà. Une variable de groupe à g niveaux compte pour g − 1 prédicteurs.
• Piège 3 : le paquet R pwr calcule ce cas de façon erronée dès qu’il y a des variables de contrôle : avec f² = ,35, 3 prédicteurs testés et 5 variables de contrôle, pwr demande N = 41, le nombre correct est 37 (G*Power et WebPower). La page calcule comme G*Power.
• Piège 4 : modèle fixe ou aléatoire. G*Power (et la page) supposent que les prédicteurs sont fixés par l’expérimentateur. S’ils sont mesurés, la puissance est un peu plus faible : dans l’exemple avec N = 90, une simulation la montre passant de ,241 à ,218. C’est pourquoi la remarque de prévoir une petite marge de sécurité est toujours affichée.
• Piège 5 : les valeurs de R² d’une petite étude pilote sont biaisées vers le haut ; mieux vaut utiliser le R² ajusté. L’augmentation dans la régression hiérarchique s’y appelle ΔR² ; la page la transforme en f².

Corrélation partielle

• La relation entre deux variables une fois k autres retirées. G*Power n’a pas de calcul propre pour cela ; on y prend « Augmentation du R² avec un prédicteur » (fixe). Statable calcule exactement par défaut : le ρp de l’échantillon est distribué comme une corrélation ordinaire de N − k paires. « Comme G*Power (fixe) » peut être choisi.
• La différence est sensible : pour ρp = ,30 et une puissance de ,80 (bilatéral), le calcul fixe donne N = 82 quel que soit le nombre de variables de contrôle. Exactement, c’est 84 sans variable de contrôle, 85 avec une, 87 avec trois et 92 avec huit. Une simulation de 20 000 tirages à N = 84 confirme le calcul exact (puissance ,788 avec trois variables de contrôle ; le calcul fixe donnerait ,812).
• La corrélation semi-partielle et le β standardisé sont différents de la corrélation partielle. Les variables de contrôle doivent être liées aux deux variables, sinon on retrouve simplement la corrélation simple.

Plusieurs facteurs, contrastes et covariable

• Analyse de la variance factorielle : ce qui compte, c’est l’effet (effet principal ou interaction) avec son f et ses degrés de liberté au numérateur ; le plan n’entre dans les degrés de liberté du dénominateur que par le nombre de toutes les cellules. Les repères de Cohen ,10 / ,25 / ,40 valent par effet. Exemple : 3 × 3 groupes, interaction, f = ,25, puissance ,80 : N = 196 (22 par cellule), 198 avec des cellules de même taille. G*Power donne le plus petit nombre, qui n’est pas forcément un multiple des cellules (pour A×C dans 3 × 2 × 5 avec f = ,1 : 2283) ; Statable montre les deux. Si plusieurs effets doivent être détectés, le plus défavorable compte.
• Contrastes : f = |Σ cᵢμᵢ| / √(N Σcᵢ²/n) / σ avec un degré de liberté au numérateur. Les poids cᵢ s’additionnent à 0.
• Covariable : le f effectif est f / √(1 − R²), les degrés de liberté du dénominateur diminuent du nombre de covariables. Pour f = ,25 et 6 cellules, il faut N = 158 sans covariable, 127 avec une covariable qui explique 20 % de la variance au sein des groupes, seulement 81 à 50 %. Cette formule est confirmée par une simulation (formule ,652, simulé ,656 pour N = 120), non par un exemple publié.
• Le η² partiel d’une analyse de covariance dans SPSS est déjà ajusté sur la covariable. Déterminez-en f et mettez le R² de la covariable à 0, sinon l’ajustement est fait deux fois.
• Le η² partiel de SPSS dépend du nombre de personnes de l’étude pilote (il est lié à l’échantillon). La fenêtre d’aide « déterminer f » le convertit en f de G*Power à l’aide de N et des degrés de liberté de l’étude pilote : f² = η²/(1 − η²) · df₂ / N.

Mesures répétées : le même f, trois sens

• Le même nombre f signifie autre chose dans G*Power, WebPower et SPSS. G*Power : f = dispersion des moyennes divisée par la dispersion d’UNE mesure au sein d’un groupe ; la corrélation entre les mesures s’ajoute séparément. WebPower : f inclut déjà la corrélation (f_WebPower = f_G·√u). SPSS : le η² partiel avec le terme d’erreur personne × condition. Avec f = ,2572, 3 groupes, 3 mesures, ρ = ,30 et une puissance de ,80, G*Power donne N = 36 et WebPower N = 148. Statable utilise le sens de G*Power ; la phrase du rapport le dit.
• À partir d’un η² partiel de SPSS, la fenêtre d’aide détermine le f de G*Power : g = η²/(1 − η²) ; f_S² = g (m − 1)(N₀ − k) / (m N₀) ; f_G² = f_S² (1 − ρ). Un exemple : η²p = ,128 à N = 90 donne f = ,2572.
• La corrélation ρ entre les mesures est une hypothèse qui déplace beaucoup le résultat : plus ρ est élevé, moins l’effet du temps exige de personnes (un groupe, 3 mesures, f = ,25 : 38 / 28 / 17 pour ρ = ,3 / ,5 / ,7), mais PLUS la différence entre groupes en exige (deux groupes, 3 mesures : 69 / 86 / 103).
• Un ε (non-sphéricité) inférieur à 1 exige plus de personnes (effet du temps, 3 mesures, ρ = ,5 : 28 pour ε = 1, 34 pour ε = ,75). Le calcul est alors une approximation un peu trop optimiste : avec 4 mesures, N = 30 et ε = ,718, la formule donne ,723, un test de Greenhouse-Geisser simulé ,694. Un ρ inférieur à −1/(mesures − 1) est impossible et bloqué.
• L’analyse multivariée (MANOVA) des mesures répétées n’est pas calculée. Perdus de vue : majoration n / (1 − taux de perdus de vue), comme partout.

Une analyse de puissance a priori pour l’effet des temps de mesure dans une analyse de la variance à mesures répétées (un groupe, 3 mesures, f = ,25, corrélation attendue entre les mesures r = ,50, ε = 1, α = ,05, 1 − β = ,80) a donné une taille d’échantillon requise de N = 28. Le calcul a été effectué dans Statable via la distribution F non centrale, selon la procédure de G*Power. La taille d’effet f est entendue comme dans G*Power, non comme dans SPSS ou WebPower.