Numerosità campionaria: blocco di predittori, correlazione parziale, più fattori, covariata, misure ripetute

In breve

Oltre ai casi semplici, la pagina «Pianifica uno studio» ne calcola altri quattro: l’aumento di R² dovuto a un blocco di predittori e la correlazione parziale (entrambi in «Prevedere qualcosa» alla voce «Che cosa si vuole verificare?»), e la scheda «Gruppi con più fattori o misure ripetute» (due o tre fattori, covariata, contrasto pianificato, misure ripetute). I calcoli sono quelli di G*Power; gli esempi stampati nel manuale di G*Power (1 giugno 2023) e in Faul e colleghi (2007, 2009) tornano fino all’ultima cifra stampata.

Aumento di R² (un blocco di predittori)

• La domanda è: quante persone servono perché il test F trovi che un blocco di q predittori spiega varianza aggiuntiva quando gli altri sono già nel modello? Conta f² = (R² con − R² senza) / (1 − R² con). Esempio dal manuale: f² = ,0714 (R² da ,25 a ,30), 4 predittori su 9, α = ,01, potenza ,80 dà N = 242.
• Trappola 1: i riferimenti di Cohen ,02 / ,15 / ,35 valgono per f², non per l’aumento di R². Un aumento di ,10 con R² = ,25 dà un f² di circa ,15.
• Trappola 2: «Tutti i predittori nel modello» sono quelli del modello completo, compresi quelli già presenti. Una variabile di gruppo con g livelli conta come g − 1 predittori.
• Trappola 3: il pacchetto R pwr calcola in modo errato questo caso non appena ci sono variabili di controllo: con f² = ,35, 3 predittori verificati e 5 variabili di controllo pwr chiede N = 41, il numero corretto è 37 (G*Power e WebPower). La pagina calcola come G*Power.
• Trappola 4: modello fisso o casuale. G*Power (e la pagina) assumono che i predittori siano fissati dallo sperimentatore. Se sono misurati, la potenza è un po' più bassa: nell’esempio con N = 90 una simulazione la mostra in calo da ,241 a ,218. Per questo la nota di lasciare un piccolo margine di sicurezza compare sempre.
• Trappola 5: i valori di R² di un piccolo studio pilota sono distorti verso l’alto; meglio usare l’R² corretto. L’aumento nella regressione gerarchica si chiama lì ΔR²; la pagina lo trasforma in f².

Correlazione parziale

• La relazione tra due variabili una volta eliminate k altre. G*Power non ha un calcolo proprio per questo; lì si prende «Aumento di R² con un predittore» (fisso). Statable calcola in modo esatto per impostazione predefinita: il ρp del campione è distribuito come una normale correlazione di N − k coppie. Si può scegliere «Come G*Power (fisso)».
• La differenza si nota: per ρp = ,30 e potenza ,80 (a due code) il calcolo fisso dà N = 82 con qualsiasi numero di variabili di controllo. Esattamente sono 84 senza variabile di controllo, 85 con una, 87 con tre e 92 con otto. Una simulazione con 20.000 ripetizioni a N = 84 conferma il calcolo esatto (potenza ,788 con tre variabili di controllo; quello fisso darebbe ,812).
• La correlazione semiparziale e il β standardizzato sono diversi dalla correlazione parziale. Le variabili di controllo dovrebbero essere legate a entrambe le variabili, altrimenti si ottiene solo la semplice correlazione.

Più fattori, contrasti e covariata

• Analisi della varianza fattoriale: conta l’effetto (effetto principale o interazione) con il suo f e i suoi gradi di libertà del numeratore; il disegno entra nei gradi di libertà del denominatore solo tramite il numero di tutte le celle. I valori di Cohen ,10 / ,25 / ,40 valgono per effetto. Esempio: 3 × 3 gruppi, interazione, f = ,25, potenza ,80: N = 196 (22 per cella), 198 con celle uguali. G*Power dà il numero più piccolo, che non è per forza un multiplo delle celle (per A×C in 3 × 2 × 5 con f = ,1: 2283); Statable mostra entrambi. Se si vogliono trovare più effetti, conta il più sfavorevole.
• Contrasti: f = |Σ cᵢμᵢ| / √(N Σcᵢ²/n) / σ con un grado di libertà del numeratore. I pesi cᵢ sommano a 0.
• Covariata: l’f effettivo è f / √(1 − R²), i gradi di libertà del denominatore diminuiscono del numero di covariate. Con f = ,25 e 6 celle servono N = 158 senza covariata, 127 con una covariata che spiega il 20% della varianza all’interno dei gruppi, solo 81 al 50%. Questa formula è sostenuta da una simulazione (formula ,652, simulato ,656 con N = 120), non da un esempio stampato.
• Il η² parziale di un’analisi della covarianza in SPSS è già corretto per la covariata. Ricava f da esso e imposta a 0 l’R² della covariata, altrimenti la correzione viene fatta due volte.
• Il η² parziale di SPSS dipende dal numero di persone dello studio pilota (dipende dal campione). La finestra di aiuto «ricavare f» lo converte nell’f di G*Power usando N e i gradi di libertà dello studio pilota: f² = η²/(1 − η²) · df₂ / N.

Misure ripetute: lo stesso f, tre significati

• Lo stesso numero f significa cose diverse in G*Power, WebPower e SPSS. G*Power: f = dispersione delle medie divisa per la dispersione di UNA misurazione all’interno di un gruppo; la correlazione tra le misurazioni si aggiunge a parte. WebPower: f include già la correlazione (f_WebPower = f_G·√u). SPSS: il η² parziale con il termine d’errore persona × condizione. Con f = ,2572, 3 gruppi, 3 misurazioni, ρ = ,30 e potenza ,80, G*Power dà N = 36 e WebPower N = 148. Statable usa il significato di G*Power; la frase nel report lo dice.
• Da un η² parziale di SPSS la finestra di aiuto ricava l’f di G*Power: g = η²/(1 − η²); f_S² = g (m − 1)(N₀ − k) / (m N₀); f_G² = f_S² (1 − ρ). Un esempio: η²p = ,128 con N = 90 dà f = ,2572.
• La correlazione ρ tra le misurazioni è un’ipotesi che sposta molto il risultato: quanto più alto è ρ, tanto meno persone servono per l’effetto del tempo (un gruppo, 3 misurazioni, f = ,25: 38 / 28 / 17 con ρ = ,3 / ,5 / ,7), ma PIÙ ne servono per la differenza tra i gruppi (due gruppi, 3 misurazioni: 69 / 86 / 103).
• Un ε (non sfericità) inferiore a 1 richiede più persone (effetto del tempo, 3 misurazioni, ρ = ,5: 28 con ε = 1, 34 con ε = ,75). Il calcolo è allora un’approssimazione un po' troppo ottimistica: con 4 misurazioni, N = 30 ed ε = ,718 la formula dà ,723, un test di Greenhouse-Geisser simulato ,694. Un ρ inferiore a −1/(misurazioni − 1) è impossibile e bloccato.
• L’analisi multivariata (MANOVA) delle misure ripetute non viene calcolata. Abbandoni: maggiorazione n / (1 − abbandono), come ovunque.

Un’analisi di potenza a priori per l’effetto dei momenti di misurazione in un’analisi della varianza a misure ripetute (un gruppo, 3 misurazioni, f = ,25, correlazione attesa tra le misurazioni r = ,50, ε = 1, α = ,05, 1 − β = ,80) ha dato una numerosità campionaria richiesta di N = 28. È stata calcolata in Statable con la distribuzione F non centrale, seguendo la procedura di G*Power. La dimensione dell’effetto f è intesa come in G*Power, non come in SPSS o WebPower.