Fallzahl: Prädiktorblock, partielle Korrelation, mehrere Faktoren, Kovariate, wiederholte Messungen

Kurz

Die Seite „Studie planen“ rechnet neben den einfachen Fällen vier weitere: den Zuwachs an R² durch einen Block von Prädiktoren, die partielle Korrelation (beide unter „Etwas vorhersagen“ bei „Was soll geprüft werden?“), und die Karte „Gruppen mit mehreren Faktoren oder Messwiederholung“ (zwei oder drei Faktoren, Kovariate, geplanter Kontrast, Messwiederholung). Die Rechenwege sind die von G*Power; die gedruckten Beispiele des G*Power-Handbuchs (1. Juni 2023) und von Faul und Kollegen (2007, 2009) kommen bis zur letzten gedruckten Stelle heraus.

Zuwachs an R² (ein Block von Prädiktoren)

• Gefragt wird: Wie viele Personen braucht es, damit der F-Test findet, dass ein Block aus q Prädiktoren zusätzlich Varianz erklärt, wenn die übrigen schon im Modell sind? Es zählt f² = (R² mit − R² ohne) / (1 − R² mit). Beispiel aus dem Handbuch: f² = ,0714 (R² von ,25 auf ,30), 4 von 9 Prädiktoren, α = ,01, Power ,80 ergibt N = 242.
• Falle 1: Cohens Richtwerte ,02 / ,15 / ,35 gelten für f², nicht für den Zuwachs an R². Ein Zuwachs von ,10 bei R² = ,25 ist f² von etwa ,15.
• Falle 2: „Alle Prädiktoren im Modell“ sind die des vollen Modells, auch die schon enthaltenen. Ein Gruppenmerkmal mit g Stufen zählt g − 1 Prädiktoren.
• Falle 3: Das R-Paket pwr rechnet diesen Fall falsch, sobald es Kontrollvariablen gibt: Bei f² = ,35, 3 getesteten Prädiktoren und 5 Kontrollvariablen verlangt pwr N = 41, richtig sind 37 (G*Power und WebPower). Die Seite rechnet wie G*Power.
• Falle 4: Festes oder zufälliges Modell. G*Power (und die Seite) setzen die Prädiktoren als vom Versuchsleiter festgelegt voraus. Werden sie gemessen, ist die Power etwas niedriger: Im Beispiel N = 90 sinkt sie in einer Simulation von ,241 auf ,218. Darum steht immer der Hinweis, einen kleinen Sicherheitszuschlag einzuplanen.
• Falle 5: R²-Werte aus einer kleinen Vorstudie sind nach oben verzerrt; besser das korrigierte R² nehmen. Der Zuwachs der hierarchischen Regression heißt dort ΔR²; die Seite macht daraus f².

Partielle Korrelation

• Der Zusammenhang zweier Variablen, wenn k andere herausgerechnet sind. G*Power hat dafür keine eigene Rechnung; man nimmt dort „Zuwachs an R² mit einem Prädiktor“ (fest). Statable rechnet standardmäßig exakt: Die Stichproben-ρp verteilt sich wie eine gewöhnliche Korrelation aus N − k Paaren. „Wie G*Power (fest)“ ist wählbar.
• Der Unterschied ist spürbar: Für ρp = ,30 und Power ,80 (zweiseitig) ergibt die feste Rechnung für jede Zahl von Kontrollvariablen N = 82. Exakt sind es 84 ohne Kontrollvariable, 85 mit einer, 87 mit drei und 92 mit acht. Eine Simulation mit 20 000 Läufen bei N = 84 bestätigt die exakte Rechnung (Power ,788 bei drei Kontrollvariablen; fest wären ,812).
• Teilkorrelation (semipartiell) und das standardisierte β sind etwas anderes als die partielle Korrelation. Die Kontrollvariablen sollen mit beiden Variablen zusammenhängen, sonst ist es nur die einfache Korrelation.

Mehrere Faktoren, Kontraste und Kovariate

• Mehrfaktorielle Varianzanalyse: Es zählt der Effekt (Haupteffekt oder Wechselwirkung) mit seinem f und seinen Zähler-Freiheitsgraden; der Plan geht nur über die Zahl aller Zellen in die Nenner-Freiheitsgrade ein. Cohens ,10 / ,25 / ,40 gelten je Effekt. Beispiel: 3 × 3 Gruppen, Wechselwirkung, f = ,25, Power ,80: N = 196 (22 je Zelle), bei gleich großen Zellen 198. G*Power nennt die kleinste Zahl, die kein Vielfaches der Zellen sein muss (bei A×C in 3 × 2 × 5 mit f = ,1: 2283); Statable zeigt beides. Sollen mehrere Effekte gefunden werden, gilt der ungünstigste.
• Kontraste: f = |Σ cᵢμᵢ| / √(N Σcᵢ²/n) / σ mit einem Zähler-Freiheitsgrad. Die Gewichte cᵢ ergeben zusammen 0.
• Kovariate: Das wirksame f ist f / √(1 − R²), die Nenner-Freiheitsgrade sinken um die Zahl der Kovariaten. Bei f = ,25 und 6 Zellen braucht es ohne Kovariate N = 158, mit einer Kovariate, die 20 % der Streuung innerhalb der Gruppen erklärt, 127, bei 50 % nur 81. Diese Formel ist durch eine Simulation belegt (Formel ,652, simuliert ,656 bei N = 120), nicht durch ein gedrucktes Beispiel.
• Das partielle η² aus einer Kovarianzanalyse in SPSS ist schon um die Kovariate bereinigt. Daraus f ausrechnen und R² der Kovariate auf 0 setzen, sonst wird zweimal bereinigt.
• Das partielle η² aus SPSS hängt von der Zahl der Personen der Vorstudie ab (es ist stichprobenbasiert). Das Hilfsfenster „f ausrechnen“ rechnet es mit N und den Freiheitsgraden der Vorstudie auf das f von G*Power um: f² = η²/(1 − η²) · df₂ / N.

Messwiederholung: dasselbe f, drei Bedeutungen

• Dieselbe Zahl f heißt in G*Power, WebPower und SPSS etwas anderes. G*Power: f = Streuung der Mittelwerte durch die Streuung EINER Messung innerhalb einer Gruppe; die Korrelation zwischen den Messungen kommt getrennt dazu. WebPower: f enthält die Korrelation schon (f_WebPower = f_G·√u). SPSS: das partielle η² mit dem Fehlerterm Person × Bedingung. Mit f = ,2572, 3 Gruppen, 3 Messungen, ρ = ,30 und Power ,80 ergibt sich in G*Power N = 36, in WebPower N = 148. Statable gilt die Weise von G*Power; der Satz im Bericht sagt es.
• Aus einem partiellen η² von SPSS rechnet das Hilfsfenster das G*Power-f aus: g = η²/(1 − η²); f_S² = g (m − 1)(N₀ − k) / (m N₀); f_G² = f_S² (1 − ρ). Ein Beispiel: η²p = ,128 bei N = 90 gibt f = ,2572.
• Die Korrelation ρ zwischen den Messungen ist eine Annahme, die das Ergebnis stark bewegt: Je höher ρ, desto weniger Personen braucht der Zeiteffekt (eine Gruppe, 3 Messungen, f = ,25: 38 / 28 / 17 bei ρ = ,3 / ,5 / ,7), aber desto MEHR der Gruppenunterschied (zwei Gruppen, 3 Messungen: 69 / 86 / 103).
• ε (Nichtsphärizität) unter 1 verlangt mehr Personen (Zeiteffekt, 3 Messungen, ρ = ,5: 28 bei ε = 1, 34 bei ε = ,75). Die Rechnung ist dann eine Näherung, die etwas zu optimistisch ist: Bei 4 Messungen, N = 30 und ε = ,718 gibt die Formel ,723, ein simulierter Greenhouse-Geisser-Test ,694. ρ unter −1/(Messungen − 1) ist nicht möglich und gesperrt.
• Nicht gerechnet wird die multivariate Auswertung (MANOVA) der Messwiederholung. Ausfälle: Zuschlag n / (1 − Ausfall), wie überall.

Eine A-priori-Poweranalyse für den Effekt der Messzeitpunkte in einer Varianzanalyse mit Messwiederholung (eine Gruppe, 3 Messungen, f = ,25, erwartete Korrelation zwischen den Messungen r = ,50, ε = 1, α = ,05, 1 − β = ,80) ergab einen Stichprobenumfang von N = 28. Die Berechnung erfolgte in Statable über die nichtzentrale F-Verteilung, im Rechenweg wie G*Power. Die Effektgröße f ist wie in G*Power gemeint, nicht wie in SPSS oder WebPower.